Делимость чисел делители и кратные


И сейчас мы рассмотрим такие понятия, как делители и кратные. Мы знаем, что делитель это число, которое показывает на сколько частей надо разделить делимое. Например, в выражении 8: Оно показывает на сколько частей разделена восьмёрка. После разделения получается 4. Как видно из примера, 8 делится на 2 без остатка. Число 2 является делителем числа 8, потому что 8 делится на 2 без остатка:. Число 3 является делителем числа 9, потому что 9 делится на 3 без остатка:.

Число 4 не является делителем числа 10 потому что 10 не делится на 4 без остатка:. Делителем числа а называется число, на которое а делится без остатка. На первый взгляд, определение может показаться непонятным и сбить с толку. Это по причине того, что данное определение содержит в себе переменную a. Но всё станет понятным, если вместо переменной a подставить любое число. Например, подставим вместо переменной a число 12 и прочитаем определение:.

Делителем числа 12 называется число, на которое 12 делится без остатка. Теперь определение более понятно. Делителем числа 12 является число, на которое 12 делится без остатка. Попробуем перечислить эти числа:.

Все эти числа являются делителями числа 12, потому что 12 делится на них без остатка. Когда какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа. Например, 6 без остатка делится на 3, значит 6 является кратным числа Кратным числа а называется число, которое делится без остатка на а.

В этом определении тоже присутствует переменная. Если вместо переменной a подставить любое число, то это определение становится сразу понятным.

Например, подставим вместо переменной a число 5 и прочитаем определение:. Кратным числа 5 называется число, которое делится без остатка на 5. У любого числа бесконечно много кратных. Например, первыми кратными числа 5, являются числа 5, 10, 15, 20, 25… Все они кратны 5, потому что делятся на 5 без остатка:.

Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить решение задач. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них. Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.

В случае, если мы имеем выражение такого вида Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на Остаток в этом случае равен последней цифре числа.

Действительно, в примере Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Например, рассмотрим число Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9. Восемнадцать делится на девять, значит и делится на Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, потому что оно делится без остатка на Нечётным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1.

Например число 21 является нечетным, потому что после его деления на 2 остается остаток Как распознать чётное число от нечетного, не делая деления на 2? Из однозначных чисел чётными являются числа 0, 2, 4, 8, а нечетными являются 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается чётной цифрой, то это число является чётным. Если число оканчивается нечетной цифрой, то это число является нечетным.

Например, число чётно, потому что оно оканчивается чётной цифрой. Число тоже четно, потому что оканчивается четной цифрой. Числа и являются нечётными, потому что они оканчиваются нечётными цифрами.

Простым называется число, которое делится на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится на единицу и на само себя:. Составным же называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, потому что у него два и более делителя: Любое составное число можно разложить на простые множители.

На самом деле, мы этим уже занимались, когда изучали тему замены в выражениях. Если помните, мы сказали, что любой параметр в выражении можно заменить на тот же, но записанный в другом виде. А здесь речь идёт о том, что любое число можно разложить на множители. Другими словами, представить число в виде произведения нескольких множителей. Разложим его на множители. Очевидно, 4 состоит из множителей 2 и Разложим на множители число 8. Восемь можно собрать из чисел 2 и 4, при этом последняя четвёрка тоже раскладывается на множители 2 и 2.

Поэтому, вместо последней четвёрки записываем её разложение:. Большие числа раскладываются таким же образом. Сначала их раскладывают на более маленькие числа, затем на более маленькие, до тех пор пока каждое число не станет простым. Например, разложим число на множители. Теперь, раскладываем выделенную синюю шестерку. Это последнее число, которое можно разложить на множители:.

На множители можно разложить только составное число. Простое число на множители не раскладывается. Именно поэтому, когда разложение доходит до простых чисел, мы эти простые числа дальше не раскладываем. Есть и второй метод разложения на простые множители. Он проще и хорошо подходит для больших чисел. Этот метод заключается в том, что сначала проводится вертикальная линия. Затем, слева записываются делимые, а справа делители, которые впоследствии собирают в множители.

При разложении числа этим методом, используют признаки делимости, такие как признаки делимости на 2, на 3, на 5 и т. Теперь применяем признаки делимости. В первую очередь, проверяем делится ли на 2. Если делится, записать эту двойку справа от вертикальной линии. Записываем двойку справа от вертикальной линии:.

Теперь делим на эту 2, и получаем второе делимое Записываем это 90 слева от вертикальной линии:. Снова применяем признаки делимости. Проверяем в первую очередь делится ли 90 на 2. Теперь делим 90 на эту 2, получаем третье делимое Записываем 45 слева от вертикальной линии:. Проверяем в первую очередь делится ли 45 на 2.

Записываем тройку справа от вертикальной линии:. Делим 45 на эту 3, получаем четвёртое делимое Записываем его слева от вертикальной линии:. Делим 15 на эту 3, получаем пятое делимое 5. Записываем эту пятёрку слева от вертикальной линии:. Делим 5 на эту 5, получаем шестое делимое 1. Записываем эту единицу слева от вертикальной линии:. На этом деление завершается, потому что мы достигли единицы. Теперь, просто переписываем в один ряд все делители, которые записаны справа от вертикальной линии.

Они и будут разложением числа на простые множители. Желательно, записывать их, начиная с самых малых. Делается это для красоты и эстетики:. Первое время, возможно, вы будете испытывать затруднения. Не расстраивайтесь в этом случае. Достаточно решить несколько примеров. Для тренировки можете разложить на простые множители следующие числа: Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках.

Во-первых, спасибо за сайт, доходчиво. Мне примеров не хватает, сама придумываю. Так например, помогите ПЖЛ разложить на простые множители число Все эти числа являются делителями числа 12, потому что все они делятся на 12 без остатка. Исправьте это предложение пожалуйста, а то получается, что речь идет о кратном, а не о делителе. Спасибо вам большое за этот сайт!

Это просто такая находка! У меня экзамены через 4 месяца, а я в математике не очень, знания на уровне класса, а ваш сайт ооочень помогает Спасибо большое! Продолжайте в том же духе, надеюсь, что мой отзыв Вас как-то подбодрит, дорогие разработчики.

Спасибо большое за сайт вам! Желаю вам удачи и хорошего настроение. Возник вопрос по определению для делителя.

Делители и кратные числа, определения и примеры.

Сначала дается определение, что делитель это число которое показывает на сколько частей делить делимое. Далее дается следующее определение для делителя, делителем является только то число, на которое делимое делится без остатка. Тогда в выражении 8: Не очень понимаю зачем в примере с вертикальной линией, при разложении числа , после первых двух шагов деления на 2 и исключив 2 в третьем, в 4ом шаге опять проверять делимость на 2, а в 5ом еще и на 4.

Согласен, если мы раскладываем число на простые множители, то деление на 4 было бессмысленной операцией. Так как 4 является составным, а не простым числом. Ваш e-mail не будет опубликован.

Перейти к содержимому Математика с нуля Пошаговое изучение математики для начинающих Меню и виджеты. Основные операции Шаг 3. Первая практика Шаг 4. Порядок действий Шаг 6. Законы математики Шаг 7. Замены в выражениях Шаг 8. Разряды для начинающих Шаг 9. Делители и кратные Шаг НОД и НОК Шаг Действия с дробями Шаг Смешанные числа Шаг Сравнение дробей Шаг Единицы измерения Шаг Применение дробей Шаг Десятичные дроби Шаг Действия с десятичными дробями Шаг Применение десятичных дробей Шаг Округление чисел Шаг Периодические дроби Шаг Перевод единиц Шаг Расстояние, скорость, время Шаг Прямая и обратная пропорциональность Шаг Отрицательные числа Шаг Модуль числа Шаг Сложение и вычитание целых чисел Шаг Умножение и деление целых чисел Шаг Рациональные числа Шаг Сравнение рациональных чисел Шаг Сложение и вычитание рациональных чисел Шаг Умножение и деление рациональных чисел Шаг Дополнительные сведения о дробях Шаг Делители и кратные Продолжаем изучать деление.

Содержание урока Что такое делитель? Кратные числа Признаки делимости чисел Чётные и нечётные числа Простые и составные числа Разложение на простые множители Задания для самостоятельного решения Что такое делитель?

Делителем является только то число, на которое делимое делится без остатка. Число 2 является делителем числа 8, потому что 8 делится на 2 без остатка: Число 3 является делителем числа 9, потому что 9 делится на 3 без остатка: Число 4 не является делителем числа 10 потому что 10 не делится на 4 без остатка: Например, подставим вместо переменной a число 12 и прочитаем определение: Попробуем перечислить эти числа: Например, 6 без остатка делится на 3, значит 6 является кратным числа 3: Например, подставим вместо переменной a число 5 и прочитаем определение: Например, первыми кратными числа 5, являются числа 5, 10, 15, 20, 25… Все они кратны 5, потому что делятся на 5 без остатка: Признак делимости на 10 Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на Мы просто отбросили последний ноль в числе Признак делимости на 5 и на 2 Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2.

Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на 3: Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9 Восемнадцать делится на девять, значит и делится на 9: Чётные и нечётные числа Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, потому что оно делится без остатка на 2: Например число 21 является нечетным, потому что после его деления на 2 остается остаток 1: Простые и составные числа Простым называется число, которое делится на единицу и на само себя.

Например, число 5 делится на единицу и на само себя: Разложение на простые множители Любое составное число можно разложить на простые множители. Очевидно, 4 состоит из множителей 2 и 2: Шесть можно собрать из чисел 2 и 3: Поэтому, вместо последней четвёрки записываем её разложение: Это последнее число, которое можно разложить на множители: К примеру, разложим предыдущее число данным методом. Проводим вертикальную линию и слева записываем первое делимое Записываем двойку справа от вертикальной линии: Записываем это 90 слева от вертикальной линии: Записываем 45 слева от вертикальной линии: Тогда проверяем делится ли 45 на 3.

Записываем тройку справа от вертикальной линии: Записываем его слева от вертикальной линии: В первую очередь проверяем делится ли 15 на 2. Тогда проверяем делится ли 15 на 3. Записываем эту пятёрку слева от вертикальной линии: В первую очередь проверяем делится ли 5 на 2. Тогда проверяем делится ли 5 на 3. Тогда проверяем делится ли 5 на 4. Тогда проверяем делится ли 5 на 5. Записываем эту пятёрку справа от вертикальной линии: Записываем эту единицу слева от вертикальной линии: Делается это для красоты и эстетики: Задания для самостоятельного решения Задание 1.

Разложите число на простые множители. Разложите число 52 на простые множители. Разложите число 98 на простые множители. Здравствуйте, и Вам спасибо! Очень доходчиво,с ясными примерами,такой подход прививает любовь к предмету ,спасибо! Очень нужная и важная работа. Так и не понял именно эту тему, как еще понятней изложить эту тему, для такого идиота как я?

Добавить комментарий Отменить ответ Ваш e-mail не будет опубликован. Пошаговое изучение математики для начинающих. Копирование материалов и размещение их на других ресурсах строго запрещено.

Смотрите также:



Коментарии:

  • Попробуем перечислить эти числа: